Machine Learning(一)：监督式学习 Part III：分类

目录

• 1 Logistic Regression介绍
• 2 Logistic Regression详解
  • 2.1 二分类
    • 2.1.1 预测函数
    • 2.1.2 成本函数
      • 2.1.2.1 复杂成本函数
      • 2.1.2.2 简单成本函数
    • 2.1.3 梯度下降
    • 2.1.4 高级优化
  • 2.2 多分类
• 3 正则化
  • 3.1 拟合问题
  • 3.2 成本函数
  • 3.3 正则化应用
    • 3.3.1 正则化线性回归
      • 3.3.1.1 梯度下降
      • 3.3.1.2 标准方程
    • 3.3.2 正则化逻辑回归
      • 3.3.2.1 梯度下降
• 4 作业
• 5 总结
• 6 参考资料

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1 Logistic Regression介绍

现在我们从回归问题转到分类问题。别被Logistic Regression这个词迷惑了(之所以叫这个名字是由于历史问题，见这里)，它是分类问题，而不是回归问题。

2 Logistic Regression详解

不像输出y是一个连续的函数，Logistic Regression的输出是离散数据，即$y\in \lbrace 0,1, \cdots, n \rbrace $。

2.1 二分类

我们现在首先考虑最简单的情况，即即$y\in \lbrace 0,1 \rbrace $。我们称之为二分类问题。

有人会说这好办，我们只要给原来的线性回归的输出map到一个$\lbrace 0,1, \cdots, n \rbrace$值即可，需要做的是找一个map的边界。但是这会过度简化模型导致输出不准确，请看下图例子。

新加一对Training Data就会使得原来的预测函数不准确。

那么该如何确定预测函数的形式呢，请往下接着看。

2.1.1 预测函数

$$g(z) = \frac 1 {1+ e^{-z}}$$

其中$g(z)$的图形如下所示，其将任何实数转换成$\lbrace 0,1\rbrace$之间的值。g(z)被称之为双弯曲函数(Sigmoid Function)或者逻辑函数(Logistic Function)。

我们将线性回归的预测函数$h_\theta(x)$代入到$z$：

$$h_\theta(x) = g(\theta^Tx) = \frac 1 {1+ e^{-\theta^Tx}}$$

那么该如何解读$h_\theta(x)$的函数呢？如果$h_\theta(x)=0.7=70\%$，就意味着有$70\%$的概率我们的输出是1，即：

$$h_\theta(x) = p(y=1 |x;\theta) = 1 - p(y=0 |x;\theta)$$

那么我们来看下决定边界(Decision Bouhdary)：

$$z = 0$$ $$h_\theta(x) ≥ 0 ⇒ y= 1$$ $$h_\theta(x) < 0 ⇒ y= 0$$

决定边界(Decision Bouhdary)：是分开$y=0$和$y=1$的边界。

例如：

$$\theta= \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\$$

当 $y=1$，即：

$$h_\theta(x) = (\theta_0 + \theta_1x1 + \theta_2x2) ≥ 0 \\ 5+(-1)x_1+0x_2 ≥ 0 \\ x_1≤ 5$$

在这个例子中，决定边界是$x_1=5$的直线，直线左边是$y=1$，右边是$y=0$。 当然决定边界不一定是直线，也可以是二次曲线，比如圆，抛物线等。

2.1.2 成本函数

如果我们用同样的线性回归的成本函数来描述分类问题，会导致成本函数有很多局部最低点。换句话说，该成本函数将不是一个凸函数(Convext Function),，如下图

Convex vs Non-convex Function

2.1.2.1 复杂成本函数

我们将成本函数重新表示成下面形式。

$$J(\theta) = \frac 1 {m} \sum_{i=1}^m cost(h_\theta(x^{(i)}),y^{(i)})$$

对于线性回归，

$$cost(h_\theta(x^{(i)}),y^{(i)}) = \frac 1 2(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$

对于分类，

$$cost(h_\theta,y) = \begin{cases} -log(h_\theta(x)), &\text{if $y = 1$} \\ -log(1-h_\theta(x)), &\text{if $y = 0$} \\ \end{cases}$$

2.1.2.2 简单成本函数

我们可以将上面复杂成本函数简化成下面简单成本函数的形式， 即$y=0$和$y=1$和复杂成本函数一样。

$$cost(h_\theta,y) =-ylog(h_\theta(x))+(1-y)log(1-h_\theta(x))$$

2.1.3 梯度下降

分类结合梯度下降算法如下：

$$\begin{align} \text{repreat until convergence:} \\ \theta_j :& = \theta_j - \alpha \frac \partial {\partial \theta}J(\theta) \\ \text{where:} \\ J(\theta)&=\frac 1 m \sum_{i=1}^m cost(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}) \\ & =\frac 1 m \sum_{i=1}^m [-ylog(h_\theta(x))+(1-y)log(1-h_\theta(x))] \\ \alpha \frac \partial {\partial \theta}J(\theta)&=\alpha \frac 1 m \sum_{i=1}^m \lbrace[h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}]x_j^{(i)}\rbrace \\ h_\theta(x)&= \frac 1 {1+e^{-\theta^Tx}} \end{align}$$

2.1.4 高级优化

除了梯度下降算法外，还有其他算法可以让我们逐步接近$J_{min}(\theta)$，比如下面这三种方法：

1. Conjudated gradient；

2. BFGS(Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno)；

3. L-BFGS(Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno using using a limited amount of computer memory)；

这三种方法比梯度下降的优势是可以更快接近$J_{min}(\theta)$且不需要人工选择$\alpha$的值；缺点是实现起来稍显复杂。我们如果要用，可以直接用octave或matlab里的库。

下面是matlab和Octave的fminunc函数，用于计算局部最小值。

fminunc函数：第一个参数是需要计算局部最小值的函数$J$，第二个参数是初始的该函数值$θ$，第三个函数是$options$(梯度开启，最多循环次数)。其中函数$J$返回函数值和梯度。

2.2 多分类

二分类的问题比较简单，但是对于结果是多种类的多分类问题，我们该如何处理呢？比如天气的分类是Sunny，Cloudy，Rainny，Snowy等。

多分类：可以简化成二分类。

多分类的问题可以简化成多个二分类问题，如上图所示。用$y=0$(该类)和$y=1$(非该类)应用到每一个class上，分别求出他们的预测函数。

3 正则化

3.1 拟合问题

在监督式学习的回归和分类中，都会碰到Under Fitting (High Bias，太少Feature)和Over Fitting (High Variance，太多Feature)的问题，见下图。

过度拟合(Over Fitting)：使用了过多的参数，虽然完美地拟合到已有数据，但是对于未来的预测不准确。

通常来说有两种解决过度拟合(Over Fitting)的方法：

1. 减少Feature数量，通过人工筛选或者筛选算法(后面的笔记会介绍)；

2. 正则化(Regularization)，保持所有Feature，但是减小Feature的权重，即$\theta_(j)$。这当我们有很多略有用的Feature时解决的效果很好。

3.2 成本函数

那么如何应用正则化，它对原来的cost fucntion$J_{\theta}$的影响又是什么呢，我们可以从下面这个例子来用直觉理解。

当预测函数是4个Feature时，如果给成本函数加上$1000\theta^3+1000\theta^4$，可以看到为了使$J_{\theta}$为0，$\theta_3$和$\theta_4$必须要比原来没有这两项要小得多，从而降低$\theta_3$和$\theta_4$的权重。

$$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x + \theta_2x^2 + \theta_3x^3 + \theta_4x^4$$ $$J(\theta) = \frac 1 {2m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2 + 1000x^3+1000x^4$$

有时候我们为了让预测函数更平滑，给所有的Feature都加上这么一项，即：

$$J(\theta) = \frac 1 {2m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2 + \lambda \sum_{i=1}^m\theta_i^2 \\ \text {where $\lambda$ is called regularization parameter}$$

但是若$\lambda$取值过大，有可能会将过度拟合削弱为刚好拟合并且进一步变成不足拟合，导致$h_\theta(x)= \theta_0$，而其他$\theta_i≈0$。

3.3 正则化应用

3.3.1 正则化线性回归

3.3.1.1 梯度下降

$$\begin{align} \text{repreat until convergence:} \\ \theta_0 : &= \theta_0 - \alpha \frac 1 m \sum_{i=1}^m [h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}]x_0^{(i)} \\ \theta_j : &= \theta_j - \lbrace \alpha \frac 1 m \sum_{i=1}^m [h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}]x_j^{(i)} + \frac \lambda m \theta_j\rbrace, \text{$\theta_j \in \lbrace1,2,\cdots,n \rbrace $} \\ &=\theta_j(1-\alpha \frac \lambda m) - \alpha \frac 1 m \sum_{i=1}^m [h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)}]x_j^{(i)}, \text{$\theta_j \in \lbrace1,2,\cdots,n \rbrace $}\end{align}$$

如何理解上面的方程呢。在任何情况下$(1-\alpha \frac \lambda m)<1$都成立，直觉上可以理解为正则化的$\lambda$使得每一步的$\theta_j$在一次更新过程中都相应地减小为原来的$(1-\alpha \frac \lambda m)$。

##需要注意的是$theta_0$不能同时被正则化，否则所有$theta$都被正则化就相当于没有正则化。##

3.3.1.2 标准方程

我们在第二篇笔记中提到过可以由标准方程来求出预测函数，即：

$$\begin{align} \theta & = (X^TX)^{-1}X^Ty \\ \text{where:} X &= \begin{bmatrix}x^{(1)}\\x^{(2)}\\ \vdots\\ x^{(m)} \end{bmatrix},x^{(i)} = \begin{bmatrix}x^{(1)}_i\\x^{(2)}_i\\ \vdots\\ x^{(n)}_i \end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}y^{(1)}\\y^{(2)}\\ \vdots\\ y^{(n)} \end{bmatrix} \end{align}$$

但是有两种情况下$(X^TX)$是退化矩阵(不可逆的)，1是$m≤n$，2是$n$有重复(比如一个是面积 in $m^2$，一个是 in $feet^2$)。但是正则化可以让第一种$m≤n$退化矩阵变为可逆矩阵，如下：

$$\begin{align} \theta & = (X^TX + \lambda L)^{-1}X^Ty \\ \text{where:} X &= \begin{bmatrix}x^{(1)}\\x^{(2)}\\ \vdots\\ x^{(m)} \end{bmatrix},x^{(i)} = \begin{bmatrix}x^{(1)}_i\\x^{(2)}_i\\ \vdots\\ x^{(n)}_i \end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}y^{(1)}\\y^{(2)}\\ \vdots\\ y^{(n)} \end{bmatrix} \\ L &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0& \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 &0& \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align}$$

3.3.2 正则化逻辑回归

3.3.2.1 梯度下降

和回归一样。

4 作业

见Classification。

附上一张跑分图。

5 总结

6 参考资料

• 《Deep Learning》;
• 《Microsoft Azure Machine Learning》;
• 《A Visual Introduction to Machine Learning》;